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數(shù)學(xué)壓軸卷試題
福建省2013年高考理科
數(shù)學(xué)壓軸卷答案下載
福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
注意事項(xiàng)：
1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)、姓名；
2．本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
參考公式：
第Ⅰ卷 （選擇題 共50分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．）
1．復(fù)數(shù) （是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．設(shè) ，則“ ”是“直線 與直線 平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知集合 ， ,且 ,則 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4．設(shè)z=x+y，其中x，y滿足 當(dāng)Z的最大值為6時(shí)， 的值為（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5．閱讀如下圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入 ，則輸出 的值為（ ）
A. 12 B. 6 C. 3 D. 0
6． 的三個(gè)內(nèi)角 對應(yīng)的邊分別 ，且 成等差數(shù)列，則角 等于（ ）
A . B.
C. D.
7．設(shè) ，則二項(xiàng)式 展開式中的 項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A . B. 20
C. D. 160
8.如下圖所示，在棱長為2的正方體 內(nèi)（含正方體表面）任取一點(diǎn) ，則 的概率 （ ）
A. B. C. D.
9．已知平面上的線段及點(diǎn) ，在上任取一點(diǎn) ，線段 長度的最小值稱為點(diǎn) 到線段的距離，記作 ．設(shè)是長為2的線段，點(diǎn)集 所表示圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
10．如下圖所示，有三根針和套在一根針上的 個(gè)金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。
（1） 每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片；
（2） 在每次移動(dòng)過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。
若將 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為 ，則 =（ ）
A. 33 B. 31 C.17 D. 15
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．
11．在樣本頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長方形，若中間一個(gè)小長方形的面積等于其它10個(gè)長方形的面積和的 ，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為
12.在平面直角坐標(biāo)系 中，若雙曲線 的焦距為8，則
13.如圖，矩形 的一邊 在 軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上.若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 且 ，記矩形
的周長為 ，則
14．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為
15.我國齊梁時(shí)代的
數(shù)學(xué)家祖暅（公元5-6世紀(jì)）提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這句話的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總是相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．
設(shè)：由曲線 和直線 ， 所圍成的平面圖形，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為 ；由同時(shí)滿足 ， ， ， 的點(diǎn) 構(gòu)成的平面圖形,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為 .根據(jù)祖暅原理等知識(shí)，通過考察 可以得到 的體積為
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫在答題卡相位置，應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分13分)
已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù) ，稱向量 為函數(shù) 的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù) 為向量 的伴隨函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù) ，試求 的伴隨向量 的模；
（Ⅱ）記 的伴隨函數(shù)為 ，求使得關(guān)于 的方程 在 內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．（本小題滿分13分）
某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：
獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球．顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì)．
（Ⅰ）求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）記 為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量 的分布列和
數(shù)學(xué)期望．
18．（本小題滿分13分）
如圖， 是半圓 的直徑， 是半圓 上除 、 外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 垂直于半圓 所在的平面， ∥ ， ， ， ．
⑴證明：平面 平面 ；
⑵當(dāng)三棱錐 體積最大時(shí)，求二面
角 的余弦值．
19．（本小題滿分13分）
已知圓 ，橢圓 ．
（Ⅰ）若點(diǎn) 在圓 上，線段 的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求點(diǎn) 的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ）現(xiàn)有如下真命題：
“過圓 上任意一點(diǎn) 作橢圓 的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”；
“過圓 上任意一點(diǎn) 作橢圓 的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”．
據(jù)此,寫出一般結(jié)論，并加以證明．
20．（本小題滿分14分）已知函數(shù) ， （ ）
（1）若函數(shù) 存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng) 且 時(shí)，令 ， ( )， ( )為曲線y= 上的兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得 是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由。
21．本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）(本小題滿分7分)選修4－2：矩陣與變換
已知矩陣A= 有一個(gè)屬于特征值1的特征向量 .
(Ⅰ) 求矩陣A；
(Ⅱ) 若矩陣B= ，求直線 先在矩陣A，再在矩陣B的對應(yīng)變換作用下的像的方程.
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
已知曲線 的極坐標(biāo)方程是 ，直線的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與 軸的交點(diǎn)是 , 是曲線 上一動(dòng)點(diǎn),求 的最大值.
(3)（本小題滿分7分）選修 ：不等式選講
（I）試證明柯西不等式：
（II）已知 ，且 ，求 的最小值．
福建省福建師大附中2013屆5月高考三輪模擬試卷
1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14． 15.
16．解：（Ⅰ）∵ ， ……… 2分
∴ ． ………………………… 4分
故 . ……………………… 5分
（Ⅱ）由已知可得 ，………………7分
∵ ， ∴ ，w W w . 5 y k j.c o M
故 . ……………………… 9分
∵當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，且 ；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，且 .
∴使得關(guān)于 的方程 在 內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． … 13分
17．（Ⅰ）解：設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件 ，
則 ，
故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為 ． ………………4分
（Ⅱ）解：隨機(jī)變量 的所有取值為 ． ………………5分
， ，
， ，
． ………………10分
所以，隨機(jī)變量 的分布列為:
………11分
． ………………13分
18．（Ⅰ）證明：因?yàn)?是直徑，所以 ………………1分，
因?yàn)?平面 ，所以 ………………2分，
因?yàn)?，所以 平面 ………………3分
因?yàn)?， ，所以 是平行四邊形， ，所以 平面 ………………4分，
因?yàn)?平面 ，所以平面 平面 ………………5分
（Ⅱ）依題意， ………………6分，
由（Ⅰ）知
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立 ………………8分
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， ，則 ， ， ， ……………………9分
設(shè)面 的法向量為 ， ，即 ， ……………………10分
設(shè)面 的法向量為 ， ，即 ， ……………12分
可以判斷 與二面角 的平面角互補(bǔ) 二面角 的余弦值為 。 ……………………13分
19. 解法一：
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ，則 ， （1） ……………………1分
設(shè)線段 的垂直平分線與 相交于點(diǎn) ，則 ，……2分
橢圓 的右焦點(diǎn) ， ………………3分
, ， ，
， （2）…………………………4分
由（1），（2），解得 ， 點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ． ……………5分
（Ⅱ）一般結(jié)論為：
“過圓 上任意一點(diǎn) 作橢圓 的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．” ……………………………6分
證明如下：
（ⅰ）當(dāng)過點(diǎn) 與橢圓 相切的一條切線的斜率
不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為 ，w W w .5 y k j.c O m
點(diǎn) 在圓 上 ， ，
直線 恰好為過點(diǎn) 與橢圓 相切的另一條切線
兩切線互相垂直．………………………………7分
（ⅱ）當(dāng)過點(diǎn) 與橢圓 相切的切線的斜率存在時(shí)，
可設(shè)切線方程為 ，
由 得 ，
整理得 ，……………8分
直線與橢圓相切，
，
整理得 ，………………………9分
， ………………………10分
點(diǎn) 在圓 上， ， ， ， 兩切線互相垂直，
綜上所述，命題成立．…………………………………………………13分
解法二：
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ，則 ， （1）……………………………1分
橢圓 的右焦點(diǎn) ，………………………………2分
點(diǎn) 在線段 的垂直平分線上， ，
， ， （2）……4分
由（1），（2），解得 ， 點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ．……………5分
（Ⅱ）同解法一．
20. 解：（Ⅰ） ，若 存在極值點(diǎn)，則 有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根。所以 ， ……………2分
解得 ……………3分
(Ⅱ) ……………4分
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；……………5分
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 。
……………7分
（Ⅲ） 當(dāng) 且 時(shí)， 假設(shè)使得 是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。則 且 。……………8分
不妨設(shè) 。故 ，則 。 ， 該方程有解
………………………………………………9分
當(dāng) 時(shí)，則 ，代入方程 得 即 ，而此方程無實(shí)數(shù)解； …………………………10分
當(dāng) 時(shí)， 則 ； …………11分
當(dāng) 時(shí)，則 ，代入方程 得 即 ， …………………………………12分
設(shè) ，則 在 上恒成立。 在 上單調(diào)遞增，從而 ，則值域?yàn)?。
當(dāng) 時(shí)，方程 有解，即方程 有解。…………13分
綜上所述，對任意給定的正實(shí)數(shù) ，曲線上總存在 兩點(diǎn)，使得 是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。………………………………14分
21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得 ，所以 …………2分
解得 故A= . ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA= = ，因?yàn)榫仃嘊A 所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點(diǎn)），所以可取直線 上的兩點(diǎn)（0，1），（-1，2）， …………………………………………4分
， ，由得：（0，1），（-1，2）在矩陣A所對應(yīng)的線性變換下的像是點(diǎn)（1，-3），（-1，-1） ……………………………6分
從而直線 在矩陣BA所對應(yīng)的線性變換下的像的方程為 .…………7分
（2）解：（Ⅰ）曲線 的極坐標(biāo)方程可化為 ，
又 ,
所以曲線 的直角坐標(biāo)方程為 …………………3分
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,得 ,…………4分
令 ,得 ,即 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0). 又曲線 為圓，圓 的圓心坐標(biāo)為(0,1)，
半徑 ，則 ,……………………………………………………6分
所以 .即 的最大值為 ……………………7分
（3）（Ⅰ）證明：左邊= ,
右邊= ,
左邊 右邊 , ………………2分
左邊 右邊 , 命題得證 . ………………………3分
（Ⅱ）令 ，則 ,
, ,
, ………………………4分
由柯西不等式得： , ………………………5分
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ，或 時(shí)………6分
的最小值是1 . ……………………7分
解法2： , ,
, ………………4分
， ………………………5分
當(dāng)且僅當(dāng) ，或 時(shí) …………………6分
的最小值是1. ………………7分
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