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2014
湛江二模數(shù)學(xué)（理科）答案
本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上。用2B鉛筆
將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角“試室號”和“座位號”欄填寫試室號、座位號，將相應(yīng)的試室號、座位號信息點涂黑。
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.考試結(jié)束后，將試題與答題卡一并交回。
參考公式：，其中為樣本容量。
參考數(shù)據(jù)：
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一個幾何體的正視圖、側(cè)視圖、和俯視圖形狀都相同，大小均相等，則這個幾何體不可以是
A．球 B．三棱錐 C．正方體 D．圓柱
3．已知，則、、的大小關(guān)系是
A． B． C． D．
4．下列命題正確的是
A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行
B．若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行
C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行
D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行
5．已知向量，則的充要條件是
A． B． C． D．
6．已知雙曲線的離心率為2，一個焦點與拋物線的焦點相同，則雙曲
線的漸近線方程為
A． B． C． D．
7．已知實數(shù)、滿足不等式組，且恒成立，則的取值范圍是
A． B． C． D．
8．對于任意兩個正整數(shù)，定義某種運算“※”，法則如下：當(dāng)都是正奇數(shù)時，※=；
當(dāng)不全為正奇數(shù)時，※=。則在此定義下，集合
中的元素個數(shù)是
A． 7 B． 11 C． 13 D． 14
二、填空題：本大題共小題．考生作答小題．每小題5分，滿分0分．
（一）必做題（～13題）中，，則 ________________。
10．閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為__________.
11．某小區(qū)有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車
需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么
不同的停放方法共有 __________種。（用數(shù)字作答）
12．在長為6的線段上任取一點，現(xiàn)作一矩形，
鄰邊長分別等于線段，的長，則該矩形面積
大于8的概率為 ．
13．若函數(shù)滿足，且時，
；函數(shù)，則函數(shù)與的
圖象在區(qū)間內(nèi)的交點個數(shù)共有 個。
（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）
14．：的圓心到直線
的距離是_______________.
15．的直徑，
為圓周上一點，，過作圓的切線，則點到
直線的距離___________.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
(1)求的定義域及最小正周期；
(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間．
17．（本小題滿分12分）
某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人，吳老師采用A、B
兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個班進行教學(xué)實驗。為了解教學(xué)效果，期末考試后，分別從兩個
班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，作出的莖葉圖如下：
記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”。
（1）在乙班樣本的20個個體中，從不低于80分的成績中隨機抽取2個，記隨機變量為抽到“成績優(yōu)秀”的個數(shù)，求的分布列及
數(shù)學(xué)期望；
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)？
18．（本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，
//，//，//，.
(1)若是線段的中點，求證：//平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
19．（本小題滿分14分）
已知等差數(shù)列的首項，公差，且分別是等比數(shù)列的，，。
(1) 求數(shù)列和的通項公式；
(2) 設(shè)數(shù)列對任意正整數(shù)均有成立，求的值。
20．（本小題滿分14分）
如圖，點是橢圓：的一個頂點，的長軸是圓：
的直徑，是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，
交橢圓于另一點。
(1) 求橢圓的方程；
(2) 求△面積的最大值及取得最大值時
直線的方程。
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 證明：對任意的，存在唯一的，使；
(3) 設(shè)（2）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當(dāng)時，有。
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1.A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9. 8 10. 11. 12. 13. 14. 15.
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
16.（本小題滿分12分）
解：（1）由，得，
故的定義域為 …………………………………….2分
∵
…………………………………….6分
∴函數(shù)的最小正周期 …………………………………….7分
（2）∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
由，
得……………………………………….10分
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為……………….12分
17. （本小題滿分12分）
解：（1）由題意得 ……………………………………….1分
故 …………….4分
∴的分布列為：
……………………………………….6分
（2）由已知數(shù)據(jù)得
……………………………………….10分
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，。
由于，所以有90%的把握認為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)。……….12分
18.（本小題滿分14分）
（1）∵
∴△∽△。 …………………………….2分
由于，因此
連接，由于，………….3分
在平行四邊形中，是線段的中點，
則，且，……………….4分
因此，且,
所以四邊形為平行四邊形，∴
又平面平面，∴平面 ………………6分
（2）解：∵，∴,
又平面，∴兩兩垂直。
分別以所在直線為軸、軸、
軸建立如圖所示的空間直角坐標系。
…………………………….7分
則 …………………………….8分
故，又，∴,
.設(shè)平面的法向量，則
，∴ ，取，得，所以
。 ……………………………………….10分
設(shè)平面的法向量，則
，∴ ，取，得，所以
。 ……………………………………….12分
所以
故二面角的余弦值為 。 ……………………………………….14分
19. (本小題滿分14分)
解：（1），且成等比數(shù)列，
∴，即， ……………………………………………2分
∴ ………………………………………………4分
又∵∴ …………………………………6分
（2）∵， ①
∴，即，
又， ②
①②得 ……………………………………………9分
∴，∴，……………………………………11分
則
……………14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1） ……………………………………………2分
∴橢圓的方程為 …………………………………………3分
（2）設(shè)
由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為。……4分
故點到直線的距離為，又圓：，
∴ ……………………………………………5分
又，∴直線的方程為
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
∴ ………………………………7分
設(shè)△的面積為，則
∴………………12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取等號。
∴當(dāng)時，△的面積取得最大值，
此時直線的方程為 ……………………………………………14分
21. （本小題滿分14分）
（1）解：函數(shù)的定義域為
，令，得…………………………2分
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
極小值
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是……………4分
（2）證明：當(dāng)時，。設(shè)，令
由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。 …………………………6分
故存在唯一的，使得成立。 …………………………8分
（3）證明：∵，由（2）知，，且，
∴…………………………10分
其中，，要使成立，只需且。 ………12分
當(dāng)時，若，則由的單調(diào)性，有，矛盾。
所以，即，從而成立。
又設(shè)，則
所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，
在上的最大值為
∴成立。 ………………………13分
∴當(dāng)時，成立。 ………………………………14分
注：如上各題若有其它解法，請評卷老師酌情給分。
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