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數(shù) 學(xué) 試 題(文科) 2014.04
本試卷共5頁(yè),21小題,滿分150分?荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
4.考生必須保持答題卡的整潔?荚嚱Y(jié)束后,將答題卡一并交回。
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1.函數(shù)的定義域?yàn)椋? )
A. B. C. D.
2.已知向量,則向量的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
4.是虛數(shù)單位,若,則等于( )
A. B. C. D.
5.如圖,一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等
的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為,那么這
個(gè)幾何體的體積為 ( )
A. B.
C. D.
6.用二分法求方程的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是( )
A. B. C. D.
7. 已知橢圓的長(zhǎng)軸在軸上,焦距為,則等于 ( )
A. B. C. D.
8.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面。下列四個(gè)命題正確的是( )
A. B.
C. D.
9.已知,則等于( 。
A. B. C. D.
10.設(shè)命題:函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的曲線關(guān)于軸對(duì)稱;
命題:函數(shù)在上是增函數(shù).則下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A.為假 B.為真 C.為假 D.為真
二、填空題:本大題共5小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分20分.
(一)必做題(11~13題)
11.已知點(diǎn)滿足,則的最小值是 .
12. 程序框圖(即算法流程圖)如下圖所示,其輸出結(jié)果是 .
13.設(shè)一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)均是區(qū)間上
的任意實(shí)數(shù),則斜邊長(zhǎng)小于的概率為 .
(二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題)
14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系下,曲線
,曲線.若曲線有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.
15.(幾何證明選講選做題)如右圖所示,是圓
外一點(diǎn),過(guò)引圓的兩條割線
.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
16. (本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)求的值;
。2)若,且,求.
17.(本小題滿分12分)
某校高三(1)班共有名學(xué)生,他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間全部在分鐘到分鐘之間,按他們學(xué)習(xí)時(shí)間的長(zhǎng)短分個(gè)組統(tǒng)計(jì),得到如下頻率分布表:
組別 分組 頻數(shù) 頻率
第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
(1)求分布表中,的值;
(2)王老師為完成一項(xiàng)研究,按學(xué)習(xí)時(shí)間用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取名進(jìn)行研究,問(wèn)應(yīng)抽取多少名第一組的學(xué)生?
(3)已知第一組學(xué)生中男、女生人數(shù)相同,在(2)的條件下抽取的第一組學(xué)生中,既有男生又有女生的概率是多少?
18.(本小題滿分14分)
如圖1,在直角梯形中,,,且.
現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直,為的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:∥平面;
。2)求證:;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
19.(本小題滿分14分)
已知正項(xiàng)數(shù)列中,,前n項(xiàng)和為,當(dāng)時(shí),有.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記是數(shù)列的前項(xiàng)和,若的等比中項(xiàng),求 .
20.(本小題滿分14分)
已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)(點(diǎn)不同于),直線與直線交于點(diǎn),為線段的中點(diǎn),試判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(1)若,求曲線在處的切線方程;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),若對(duì)任意,均存在,使得,求的取值范圍.
廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B D C A A C D
1.【解析】選A,
2.【解析】選D,.
3.【解析】選B,.
4.【解析】選B,
5.【解析】選D, 由三視圖還原幾何體可知.
6.【解析】選C, 設(shè),
當(dāng)連續(xù)函數(shù)
7.【解析】選A,
8.【解析】選A,有面面平行的性質(zhì)可知A正確.
9.【解析】選C,相鄰兩項(xiàng)依次結(jié)合可得:
10. 【解析】選D ,
二.填空題
11. 12. 13.
14. ( 或 ) 15.
11.【解析】
12.【解析】連續(xù)遞推可得
13.【解析】設(shè)兩條直角邊長(zhǎng)為,
14.【解析】化為普通方程后,圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑(),解不等式即可.
15.【解析】由割線定理可得
三.解答題
16. (本小題滿分12分)
解:(1) …………………2分
(2) …………4分
……………………6分
……………………8分
…………10分
因?yàn),且,所? ………11分
所以 ………12分
17.(本小題滿分12分)
解:(1),. …………4分
(2)設(shè)應(yīng)抽取名第一組的學(xué)生,則得.
故應(yīng)抽取2名第一組的學(xué)生. …………6分
(3)在(2)的條件下應(yīng)抽取2名第一組的學(xué)生,記第一組中2名男生為,2名女生為.
按時(shí)間用分層抽樣的方法抽取2名第一組的學(xué)生共有種結(jié)果,列舉如下:
。 ……………9分
其中既有男生又有女生被抽中的有這4種結(jié)果, ……10分
所以既有男生又有女生被抽中的概率為. …………12分
18.(本小題滿分14分)
(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié).
在△中,分別為的中點(diǎn),
所以∥,且.
由已知∥,,
所以∥,且. …………………………3分
所以四邊形為平行四邊形.
所以∥. …………………………4分
又因?yàn)槠矫,且平面?/div>
所以∥平面. ………………………5分
(2)在正方形中,.
又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?/div>
所以平面.
所以. ………………………7分
在直角梯形中,,,可得.
在△中,,
所以.
所以. …………………………8分
所以平面. …………………………10分
。3)解法一:因?yàn)槠矫妫?所以平面平面. …………11分
過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),則平面
所以點(diǎn)到平面的距離等于線段的長(zhǎng)度 ………………………12分 在直角三角形中,
所以
所以點(diǎn)到平面的距離等于. ………………………14分
解法二:平面,所以
所以
………………………12分
又,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為
則 ,所以
所以點(diǎn)到平面的距離等于. ………………………14分
19. (本小題滿分14分)
解析: (1)
……………1分
, ……………2分
…………………………………………3分
………………………………………4分
……………6分
(2)
…………………………………7分
…………………………………9分
……………11分
……………………………………13分
………………………………………14分
20.(本小題滿分14分)
解析:(1)由題意可得,, ∴ …………2分
∴, …………………3分
所以橢圓的方程為. …………………4分
(2)曲線是以為圓心,半徑為2的圓。
設(shè),點(diǎn)的坐標(biāo)為,…………………5分
∵三點(diǎn)共線, ∴,…………………6分
而,,則,
∴, ………………………………………8分
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為, …………………10分
∴直線的斜率為,
而,∴,
∴, …………………12分
∴直線的方程為,化簡(jiǎn)得,
∴圓心到直線的距離,…………………13分
所以直線與曲線相切. ……………………………14分
21.(本小題滿分14分)
解:(1)由已知, …………………………1分
,所以斜率, …………………………2分
又切點(diǎn),所以切線方程為),即
故曲線在處切線的切線方程為。 ………………3分
(2) ………………4分
①當(dāng)時(shí),由于,故,,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
………………………………5分
②當(dāng)時(shí),由,得. ……………………6分
在區(qū)間上,,在區(qū)間上,,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. …………7分
(3)由已知,轉(zhuǎn)化為. ………………8分
,所以 ………………9分
由(2)知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,值域?yàn)椋什环项}意.
(或者舉出反例:存在,故不符合題意.) ………………10分
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故的極大值即為最大值,, ………12分
所以, 解得. …………14分
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