2014河南中原名校第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)答案

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2014河南中原名校第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)答案

中原名校2013-2014學(xué)年高三下期第二次聯(lián)考
數(shù)學(xué)(理)試題參考答案
一、選擇題:CDCCB  ABBDA  DB
二、填空題:13.0    14.168    15.    16.
17.解:(Ⅰ)
.
∴函數(shù)的最大值為.當(dāng)取最大值時(shí)
,解得.
故的取值集合為.……………………………………(6分)
(Ⅱ)由題意,化簡得 
,, ∴, ∴
在中,根據(jù)余弦定理,得.
由,知,即.
∴當(dāng)時(shí),取最小值.…………………………..……………………(12分)
18.解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖得,獲得參賽資格的人數(shù)為500×(0.0050+0.0043+0.0032)×20=125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)
(Ⅱ)設(shè)500名學(xué)生的平均成績?yōu)?則=(×0.0065+×0.0140+×0.0170+×0.0050+×0.0043+×0.0032)×20=78.48分.
…………………………………………………………………………..…………(6分)
(Ⅲ)設(shè)學(xué)生甲答對每道題的概率為,則,∴=.
學(xué)生甲答題個(gè)數(shù)的可能值為3,4,5,
則==
=所以的分布列為
345=×3+×4+×5=.…………………………..……………….. (12分)
19. (Ⅰ)證明:是的中點(diǎn)時(shí),////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.……………………………………………………..………(6分)
(Ⅱ)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則有,,,,設(shè),
,,平面的法向量,則有
,解得. .
平面的法向量,依題意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,則有
,解得. .
與平面所成角為,則有,
故有.………………………………………………………………(12分)
20.解:(Ⅰ)設(shè)拋物線的方程為,依題意,,
則所求拋物線的方程為.………………………………………………(2分)
設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直線過定點(diǎn),即,代入上式得
注意到上式對任意都成立,
故有,從而點(diǎn)坐標(biāo)為.…………………………………………(8分)
(Ⅱ)假設(shè)存在以為底邊的等腰直角三角形,由第(Ⅰ)問可知,將用代換得直線的方程為.設(shè),
由消,得.
∴ ,.
∵的中點(diǎn)坐標(biāo)為,即,
∵,∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由已知得,即.
設(shè),則,
在上是增函數(shù).又,,
在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),
所以滿足條件的等腰直角三角形有且只有一個(gè). ……………………..………(12分)
21.解:(Ⅰ),,.
∴,且.解得a=2,b=1. ……...…………(4分)
(Ⅱ),設(shè),
則,令,得x=1(x=-1舍去).
當(dāng)x∈時(shí),, h(x)是增函數(shù);當(dāng)x∈時(shí),, h(x)是減函數(shù).
則方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是
解得.………………………………………..………(8分)
(Ⅲ),.假設(shè)結(jié)論成立,
則有,①-②,得.
∴.由④得,于是有,∴,
即.⑤  令, (0<t<1),則>0.
∴在0<t<1上是增函數(shù),有,∴⑤式不成立,與假設(shè)矛盾.
∴.……………………………………………………………..………(12分)
22. (Ⅰ)證明:設(shè)與交于點(diǎn),連接.
,,又△∽△,
.于是有,注意到
,∴△∽△,
∴,∴四點(diǎn)共圓.從而有,
∴.………………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)在△中, ,
,,,由,知,
.又,.
故.………………………………………………………………(10分)
23.解:(Ⅰ)曲線:,直線:.…….. ….…………(5分)
(Ⅱ)曲線:,與直線聯(lián)立得,消去,得
,由△知,,. ……….…(10分)
24. 解:(Ⅰ),
的解集是.…………………... …….…………(5分)
(Ⅱ)時(shí),時(shí),,結(jié)合的圖像知,
,解得或,
故的取值范圍是.…………………..……………..……(10分)
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