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(完卷時(shí)間120分鐘,滿分150分)
一、填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題,只要求將最終結(jié)果直接填寫(xiě)答題紙上相應(yīng)的橫線上,每個(gè)空格填對(duì)得4分,否則一律得零分.
已知,,則 .
已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則等于 .
若是純虛數(shù)(是虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)的值為 .
拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是 .
已知向量,,,則向量與的夾角為 .
執(zhí)行右圖的程序框圖,如果輸入,則輸出的值為 .
不等式對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
若是展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù),
則 .
已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為,圓心角為的扇形,則此圓錐的體積為 .
設(shè),若不等式組 所表示的平面區(qū)域是一個(gè)銳角三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
從這個(gè)整數(shù)中任意取個(gè)不同的數(shù)作為二次函數(shù)的系數(shù),則使得的概率為 .
已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則取最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
已知、、為直線上不同的三點(diǎn),點(diǎn)直線,實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式
,有下列命題:
① ; ② ;
③ 的值有且只有一個(gè); ④ 的值有兩個(gè);
⑤ 點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
則正確的命題是 .(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))
二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的,必須把答題紙上相應(yīng)的正確代號(hào)用2B鉛筆涂黑,選對(duì)得5分,不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè),一律得零分.
若,則“成立”是“成立”的 ( )
。ˋ)充分非必要條件 (B)必要非充分條件
。–)充要條件 (D)既非充分又非必要條件
下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為 ( )
。ˋ) (B)
。–) (D)
已知和是兩條不同的直線,和是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出的是 ( )
A)且 (B)且
(C)且 (D)且
對(duì)于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”.
下列函數(shù)中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為 ( )
(A) (B)
。–) (D)
三、解答題(本大題共5題,滿分74分)每題均需寫(xiě)出詳細(xì)的解答過(guò)程.
(本題滿分12分)本題共有2小題,第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分6分.
在△中,角,,所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,,,
且.
。1)若,,求的值;
。2)若,求的取值范圍.
(本題滿分14分)本題共有2小題,第(1)小題滿分7分,第(2)小題滿分7分.
如圖,幾何體中,為邊長(zhǎng)為的正方形,為直角梯形,,,,,.
。1)求異面直線和所成角的大小;
(2)求幾何體的體積.
(本題滿分14分) 本題共有2小題,第(1)小題滿分7分,第(2)小題滿分7分.
為了保護(hù)環(huán)境,某工廠在國(guó)家的號(hào)召下,把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品,經(jīng)測(cè)算,處理成本(萬(wàn)元)與處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為:
,且每處理一噸廢棄物可得價(jià)值為萬(wàn)元的某種產(chǎn)品,同時(shí)獲得國(guó)家補(bǔ)貼萬(wàn)元.
(1)當(dāng)時(shí),判斷該項(xiàng)舉措能否獲利?如果能獲利,求出最大利潤(rùn);
如果不能獲利,請(qǐng)求出國(guó)家最少補(bǔ)貼多少萬(wàn)元,該工廠才不會(huì)虧損?
(2)當(dāng)處理量為多少噸時(shí),每噸的平均處理成本最少?
(本題滿分16分)本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分6分,第(3)小題滿分6分.
已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列中,,對(duì)任意的,成等比數(shù)列,公比為;成等差數(shù)列,公差為,且.
。1)求的值;
。2)設(shè),證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(本題滿分18分)本題共有3小題,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分6分,第(3)小題滿分8分.
如圖,圓與直線相切于點(diǎn),與正半軸交于點(diǎn),與直線在第一象限的交點(diǎn)為. 點(diǎn)為圓上任一點(diǎn),且滿足,動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線.
(1)求圓的方程及曲線的軌跡方程;
(2)若直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、,
求四邊形的周長(zhǎng);
。3)已知曲線為橢圓,寫(xiě)出橢圓的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、范圍和焦點(diǎn)坐標(biāo).
2014年上海市高三年級(jí) 六校聯(lián)考
一、填空題
1. 2. 3. 4. 5.
6、 7. 8. 9. 10.
11、 12. 13. 14.①③⑤
二、選擇題
15. C 16. A 17. C 18. B
三、解答題
19. 解:(1)在△中,.
所以.
,所以. ………………3分
由余弦定理,
得.
解得或. ………………6分
(2)
. ………………9分
由(1)得,所以,,
則.
∴.
∴.
∴的取值范圍是. ………………12分
20. 解:(1)解法一:在的延長(zhǎng)線上延長(zhǎng)至點(diǎn)使得,連接.
由題意得,,,平面,
∴平面,∴,同理可證面.
∵ ,,
∴為平行四邊形,
∴.
則(或其補(bǔ)角)為異面直線和
所成的角. ………………3分
由平面幾何知識(shí)及勾股定理可以得
在中,由余弦定理得
。
∵ 異面直線的夾角范圍為,
∴ 異面直線和所成的角為. ………………7分
解法二:同解法一得所在直線相互垂直,故以為原點(diǎn),所在直線
分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, ………………2分
可得,
∴ ,
得. ………………4分
設(shè)向量夾角為,則
。
∵ 異面直線的夾角范圍為,
∴ 異面直線和所成的角為. ………………7分
(2)如圖,連結(jié),過(guò)作的垂線,垂足為,則平面,且.
………………9分
∵ ……………11分
.
∴ 幾何體的體積為.……14分
21. 解:(1)根據(jù)題意得,利潤(rùn)和處理量之間的關(guān)系:
………………2分
,.
∵,在上為增函數(shù),
可求得. ………………5分
∴ 國(guó)家只需要補(bǔ)貼萬(wàn)元,該工廠就不會(huì)虧損. ………………7分
(2)設(shè)平均處理成本為
………………9分
, ………………11分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,由 得.
因此,當(dāng)處理量為噸時(shí),每噸的處理成本最少為萬(wàn)元. ………………14分
22. 解:(1)由題意得
,,或. ………………2分
故數(shù)列的前四項(xiàng)為或. ………………4分
。2)∵成公比為的等比數(shù)列,
成公比為的等比數(shù)列
∴,
又∵成等差數(shù)列,
∴.
得,, ………………6分
,
∴,,即.
∴ 數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列,且或. ……8分
∴或. ………………10分
(3)當(dāng)時(shí),由(2)得.
,,
,
. ………………13分
當(dāng)時(shí),同理可得,. ………………16分
、。┊(dāng)時(shí),,結(jié)論成立.
、ⅲ┘僭O(shè)時(shí),結(jié)論成立,即.
則時(shí),
由歸納假設(shè),. 由成等差數(shù)列可知,于是,
∴ 時(shí)結(jié)論也成立.
此時(shí).
∴或. ………………10分
(3)對(duì)這個(gè)數(shù)列,猜想奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為.
顯然結(jié)論對(duì)成立. 設(shè)結(jié)論對(duì)成立,考慮的情形.
由(2),且成等比數(shù)列,
故,即結(jié)論對(duì)也成立.
從而由
數(shù)學(xué)歸納法原理知.于是(易見(jiàn)從第三項(xiàng)起每項(xiàng)均為正數(shù))以及,此時(shí). ………………13分
此時(shí). ………………16分
23. 解:(1)由題意圓的半徑,
故圓的方程為. ………………2分
由得,,
即,得
()為曲線的方程.(未寫(xiě)范圍不扣分)…4分
(2)由解得:或,
所以,A(,),C(-,-)
同理,可求得B(1,1),D(-1,-1)
所以,四邊形ABCD的周長(zhǎng)為:
(3)曲線的方程為(),
它關(guān)于直線、和原點(diǎn)對(duì)稱,下面證明:
設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,顯然,所以點(diǎn)在曲線上,故曲線關(guān)于直線對(duì)稱,
同理曲線關(guān)于直線和原點(diǎn)對(duì)稱.
可以求得和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,
,,,.
在上取點(diǎn) .
曲線為橢圓:
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
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