2014廣東東莞一模考試數(shù)學(理)試題答案

學習頻道    來源: 陽光學習網(wǎng)      2024-07-20         

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東莞市2014屆高三理科數(shù)學模擬試題(一)
命題:汪紅兵  審稿與校對:梅開萍、楊波
參考公式:
·如果事件、互斥,那么.
·表示底面積,表示底面的高,柱體體積 ,,錐體體積 .
一、選擇題:共8小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.學
1.已知全集U=R,集合,則∩(?U B)=(  )
A.(,1)          B.C.D. (0,)  
2. 設、,若,則下列不等式中正確的是
A.    B.    C.    D.
是等差數(shù)列,若則數(shù)列前8項和為(      )
A.128                B.80              C.64              D.56
4.已知函數(shù)則函數(shù)的零點為
A....
5.給出下列三個結論:
(1)若命題為假命題,命題為假命題,則命題“”為假命題;
(2)命題“若,則或”的否命題為“若,則或”;
(3)命題“”的否定是“ ”.則以上結論正確的個數(shù)為
A.        B.          C.     D.
的最小正周期是,若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)的圖象
A.對稱B.對稱
C.D.對稱
7. 已知向量與的夾角為,且,若,且,則實數(shù)的值為
8. 設,,為整數(shù)(m>0),若和被除得的余數(shù)相同,則稱和對模同余,記為.若,,則的值可以是
A.2011                B.2012                 C.2013                 D.2014
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中1~15題是選做題,考生只能選做題,題全答的,只計算前題得分.
某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況,在3 000名學生中隨機抽取200名,并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績,得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖).根據(jù)頻率分布直方圖推測,這3 000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是________.
                                                                     (第9題)                        (第10題)                    
10.某幾何體的三視圖如,則它的體積是________.
 的展開式中x3的項的系數(shù)是____(用數(shù)字作答)。
12. 已知集合A={x|x2-2x-3>0 },B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|3<x≤4},
A∪B=R,則的最小值為____
13. 請閱讀下列材料:若兩個正實數(shù)滿足(不必證明)
14.(坐標系與參數(shù)方程選做題)[來已知直線為參數(shù)且)與(是參數(shù)且),則直線與的交點坐標為         . 
15.(幾何證明選講選做)如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長線上一點,CD切半圓于點D,CD=2,DE⊥AB,垂足為E,且E是OB的中點,則BC的長為       .
16.(本小題滿分12分)已知,.
⑴ 求的最小正周期;
⑵ 設、,,,求的值.
,據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖. 
(1)求成績在區(qū)間的頻率;
(2)從成績大于等于80分的學生中隨機選3名學生,其中成績在[90,100]內(nèi)的學生人數(shù)為ξ,求ξ的分布列與均值.
18. (本小題滿分14分)
如圖所示的多面體中, 是菱形,是矩形,平面,,.
(1) 求證:平面;
() 若二面角為直二面角求直線與平面所成的角的正弦值
19.(本小題滿分14分)
如圖所示,已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點,點A是長軸的一個端點,BC過橢圓中心O,且,|BC|=2|AC|. (1)求橢圓方程;
(2) 在橢圓E上是否存點Q,使得?若存在,有幾個(不必求出Q點的坐標),若不存在,請說明理由.(3)的兩條
切線,切點分別為M、N,若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n,證明:為定值.
20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)求的極值;
若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點,求實數(shù)的取值范圍
21.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列中,,且.為數(shù)列的前項和,且
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設,求數(shù)列的前項的和;
(3)證明對一切,有.
東莞市2014屆高三理科數(shù)學模擬試題(一)
參考答案
選擇題:每小題5分,共40分.
序號12345678答案ABCDD B D A 
二. 填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9.600          10. 8-;
13.              14.(1,3) .
三. 解答題:
16. 解:⑴……2分,……4分,
的最小正周期⑵因為,,……6分,
所以,……7分,
,,……8分,
因為,所以,……9分,
所以……10分,
……11分,
……12分。
17. 解:(1)因為各組的頻率之和為1,所以成績在區(qū)間的頻率為
,       …………………3分
   (2)由已知和(1)的結果可知成績在區(qū)間內(nèi)的學生有人,
成績在區(qū)間內(nèi)的學生有人,…………………4 分
依題意,ξ可能取的值為0,1,2,3                 …………………5 分
所以ξ的分布列為
ξ0123P
                             ............................................................................10分
則均值Eξ=        ...............................12分
18.(本小題滿分14分)
(1)矩形中,--------1分
平面,平面,平面,-2分
同理平面,-------3分
又u平面∥平面------4分
(2)取的中點.
由于面, ∥,
又是菱形,是矩形,所以,是全等三角形, 
所以,就是二面角的平面角-------8分
解法1(幾何方法):
延長到,使,由已知可得,是平行四邊形,又矩形,所以是平行四邊形,共面,由上證可知, ,,相交于,平面為所求.
由,,得
等腰直角三角形中,,可得
直角三角形中,
解法2幾何方法):由,,得平面,欲求直線與平面所成的角,先求與所成的角. ------12分
連結,設則在中,,,用余弦定理知 ---14分
解法3(向量方法):以為原點,為軸、為軸
建立如圖的直角坐標系,由則,
,平面的法向量, -------12分
. ---14分
19.解:(1),則A(2,0),設橢圓方程為-----------------------分 由對稱性知|OC|=|OB| 又∵,|BC|=2|AC|∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC為等腰直角三角形∴點C的坐標為(1,1)點B的坐標為(-1,-1) ---------------------4分將C的坐標(1,1)代入橢圓方程得 ∴所求橢圓方程為---------------------------------分
在橢圓E上存點Q,使得,則
即點Q在直線上,-----------------------------------------------------------7分∴點Q即直線與橢圓E的交點,
∵直線過點,而點橢圓在橢圓E的內(nèi)部,
∴滿足條件的點Q存在,且有兩個.------------------------------------------------------9分在橢圓E上存點Q,使得,則
即,--------①-------------------------------------------------7分Q在橢圓E上,∴,-----------------②
由①式得代入②式并整理得:,-----③
∵方程③的根判別式,
∴方程③有兩個不相等的實數(shù)根,即滿足條件的點Q存在,且有兩個.---------------9分,由M、N是的切點知,,
∴O、M、P、N四點在同一圓上,------------------------------------------10分OP,則圓心為,
其方程為,------------------------------11分-----④
即點M、N滿足方程④,又點M、N都在上,
∴M、N坐標也滿足方程---------------⑤
⑤-④得直線MN的方程為分得,令得,----------------------------------13分∴,又點P在橢圓E上,
∴,即=定值.-----------------------------------14分則----------10分化簡得--------------④
同理可得直線PN的方程為---------------⑤-------------------11分⑤得
∴直線MN的方程為分得,令得,--------------------------------------------13分∴,又點P在橢圓E上,
∴,即=定值.---------------------------------------------14分,且.               
    又,.                   
    在點處的切線方程為:,
    即.                         ……………………… 4分
(2)的定義域為,, 令.
當時,,是增函數(shù);
當時,,是減函數(shù);  
在處取得極大值,即.   ……… 8分
(3)(i)當,即時,
由(Ⅱ)知在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),
當時,取得最大值,即.
又當時,,
當時,,當時,,
所以,的圖像與的圖像在上有公共點,
等價于,解得,又因為,所以.                         
(ii)當,即時,在上是增函數(shù),
在上的最大值為,
原問題等價于,解得,又   無解
綜上,的取值范圍是.                          ……………… 14分
21.解:(1)由已知得,,,
由題意,即,    當n為奇數(shù)時,;當n為偶數(shù)時,.
所以.            …………4分
(2)解法一:由已知,對有,
兩邊同除以,得,即,
于是,==,
即,,所以=,
,,又時也成立,故,.
所以,                              ………8分
解法二:也可以歸納、猜想得出,然后用數(shù)學歸納法證明.
(3)當,有,
所以時,有
=.
當時,.  故對一切,有.    ………14分
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