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命題：陳千明 審稿與校對(duì)：彭啟虎、朱廣智
選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只
有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 已知集合，，則=（ ）
A． B． C． D．
2. 已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，則
A．B．C． D．、，”是”成立的
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件
．定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如圖所示，則式子的值為（ ）
A．4B．8C．11D．13
在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，若三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，動(dòng)點(diǎn)滿足且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意都有成立，則（ �。�
A． B.
C. D. 與的大小不確定
二、填空題：（本大共4小題,每小題5分,滿分30分 ）
（一）必做題（11-13題）
11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．
12．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚青氨是否超標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，…，799進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個(gè)的樣本個(gè)體的編號(hào)是 …（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
13．如圖，有一個(gè)形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)（算第1層），第2層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有三個(gè)點(diǎn)，依次類推．
試問(wèn)第層的點(diǎn)數(shù)為___________個(gè)；
如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它一共有_____層．
（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）
14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，
則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 ．
15.（幾何證明選講選做題）如圖，已知、
為⊙的切線，、分別為切點(diǎn)，為⊙
的直徑，，則 ．
三、解答題（本大題共6小題，滿分80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)，其中向量，，．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，分別是角的對(duì)邊，已知，的面積為，求的值．
17. （本小題滿分12分）
對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，所得情況如右
頻率分布直方圖.
（1）圖中縱坐標(biāo)處刻度不清，根據(jù)圖表
所提供的數(shù)據(jù)還原；
（2）根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣，抽取個(gè)元件，
壽命為之間的應(yīng)抽取幾個(gè)；
（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個(gè)元件，求事件“恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”的概率.
18. （本小題滿分14分）
如圖，已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，
且.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）若是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.
19．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列中，.
（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.
20．（本小題滿分14分）
（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿足
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，
，，求點(diǎn)P的
軌跡方程.
如圖，已知橢圓的上、下
頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)
，直線與直線分別交
于點(diǎn)，
（）
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
21．本題滿分14分已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）．
（）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；
（）設(shè)，問(wèn)是否存在，使得，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
12． 13．(1) （3分） (2)（2分）
14. 15. .
三、解答題（本大題共6小題，滿分80分。）
16．（本小題滿分12分）
解：（1）==+1
令
解得
故的單調(diào)遞增區(qū)間為
注：若沒寫，扣一分
（2）由得
而，所以，所以得
又，所以
17. （本小題滿分12分）
解（1）根據(jù)題意：
解得………………………………3分之間的應(yīng)抽取個(gè)，根據(jù)分層抽樣有：
………………………5分
所以應(yīng)在壽命為之間的應(yīng)抽取個(gè)………………………………7分，一個(gè)壽命為”為事件，由（2）知
壽命落在之間的元件有個(gè)分別記，落在之間的元件有
個(gè)分別記為：，從中任取個(gè)球，有如下基本事件：
，，
，共有個(gè)基本事件………9分 “恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”有：
，共有個(gè)基本事件………10分……………………………11分，另一個(gè)壽命為”的概率為
.……………12分解:（1）底面是直角梯形，且,
， ……… 1分
又 ………… 2分
………… 3分
∴∥平面 ………… 4分
（2）， ，
…………… 5分
則
∴ ………… 6分
平面 ，
∴ ………… 7分
又 …………8分
∴平面 ………… 9分
（3）在直角梯形中，過(guò)作為矩形， ………… 10分在中可得
故 ……… 11分
∵，
∴的距離是到面距離的一半 ………… 12分
∴ …………14分知，，
又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
……………………………… 6分
（2），
，
兩式相減得
，
…………………………………………………… 9分
…………………………………………………………10分
若n為偶數(shù)，則……………………………………11分
若n為奇數(shù)，則……………………13分
…………………………………………………… 14分
20. （本小題滿分14分）
解：（）
∵ ∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|
∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2＜|F1F2|
由雙曲線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.
點(diǎn)P的軌跡方程是 ……………………………………… 4分
（2）（�。�，，令，則由題設(shè)可知，
直線的斜率，的斜率，
又點(diǎn)在橢圓上，所以（），
從而有. …………………… 8分
（ⅱ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，又易求
得、.
所以、.
故有.又，化簡(jiǎn)后得到以
為直徑的圓的方程為.…………11分
令，解得或.………13分
所以以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)或.…………14分
21．解：（），則，
令，得或，而在處有極大值，∴或；綜上：或．……3分（）假設(shè)存在，即存在，使得
，
當(dāng)時(shí)，又，故，則存在，使得
，……………………………4分 當(dāng)即時(shí)，得，；………………………………5分 當(dāng)即時(shí)，得，……6分無(wú)解；綜上：．………………………………7分據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這
5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
（�。┯�2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足；…………8分（ⅱ）有3個(gè)不同的實(shí)根，
當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；………………………………9分當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；
當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以；…………………………10分因?yàn)椋á。áⅲ┮瑫r(shí)滿足，故；（注：也對(duì)）………11分下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立
若存在使得，
由，即，得，
當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；
當(dāng)時(shí)，既有 ①；
又由，即 ②； 聯(lián)立①②式，可得；
而當(dāng)時(shí)，沒有5個(gè)不
同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)． …………14分
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