東莞市2014屆高三文科數(shù)學(xué)模擬試題(一)

命題：陳千明  審稿與校對：彭啟虎、朱廣智

選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的．）

1. 已知集合，，則=（    ）

A．          B．         C．             D．

2. 已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程是（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知，，且，則

A．B．C．     D．、，”是”成立的

A．充要條件           B．充分非必要條件

C．必要非充分條件     D．非充分非必要條件

．定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如圖所示，則式子的值為（      ）

A．4B．8C．11D．13

在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）

A．        B．      C．        D．

8．過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，若三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（    ）

A．            B．           C．           D．

9．已知，，，動(dòng)點(diǎn)滿足且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于的概率為（    ）

A．        B．        C．          D．

10．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意都有成立，則（　　）

    A．      B.   

C.       D. 與的大小不確定

二、填空題：（本大共4小題,每小題5分,滿分30分 ）

（一）必做題（11-13題）

11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．

12．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚青氨是否超標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，…，799進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個(gè)的樣本個(gè)體的編號(hào)是                    …（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行）

84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25   83 92 12 06 76

63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07   44 39 52 38 79

33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42   99 66 02 79 54

13．如圖，有一個(gè)形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)（算第1層），第2層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有三個(gè)點(diǎn)，依次類推．

試問第層的點(diǎn)數(shù)為___________個(gè)；

如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它一共有_____層．

（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）

14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，

則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為              ．

15.（幾何證明選講選做題）如圖，已知、

為⊙的切線，、分別為切點(diǎn)，為⊙

的直徑，，則          ．

三、解答題（本大題共6小題，滿分80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16．（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)，其中向量，，．

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在中，分別是角的對邊，已知，的面積為，求的值．

17. （本小題滿分12分）

對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，所得情況如右

頻率分布直方圖.

（1）圖中縱坐標(biāo)處刻度不清，根據(jù)圖表

所提供的數(shù)據(jù)還原；

（2）根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣，抽取個(gè)元件，

壽命為之間的應(yīng)抽取幾個(gè)；

（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個(gè)元件，求事件“恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”的概率.

18. （本小題滿分14分）

如圖，已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，

且.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

19．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列中，.

（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.

20．（本小題滿分14分）

（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿足

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，

，，求點(diǎn)P的

軌跡方程. 

如圖，已知橢圓的上、下

頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)

，直線與直線分別交

于點(diǎn)，

（）

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論．

21．本題滿分14分已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）．

（）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；

（）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

         12．     13．(1) （3分）     (2)（2分）

14.           15. .

三、解答題（本大題共6小題，滿分80分。）

16．（本小題滿分12分）

解：（1）==+1

令

解得

故的單調(diào)遞增區(qū)間為

注：若沒寫，扣一分

（2）由得

而，所以，所以得

又，所以

17. （本小題滿分12分）

解（1）根據(jù)題意：

       解得………………………………3分之間的應(yīng)抽取個(gè)，根據(jù)分層抽樣有：

        ………………………5分

       所以應(yīng)在壽命為之間的應(yīng)抽取個(gè)………………………………7分，一個(gè)壽命為”為事件，由（2）知    

       壽命落在之間的元件有個(gè)分別記，落在之間的元件有

       個(gè)分別記為：，從中任取個(gè)球，有如下基本事件：    

        ，，   

        ，共有個(gè)基本事件………9分 “恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”有：

        ，共有個(gè)基本事件………10分……………………………11分，另一個(gè)壽命為”的概率為

        .……………12分解:（1）底面是直角梯形，且,

，                         ……… 1分

又 ………… 2分

             ………… 3分

∴∥平面            ………… 4分

（2）， ，

                      …………… 5分

則

∴         ………… 6分

平面 ，

∴          ………… 7分

又          …………8分

∴平面               ………… 9分

（3）在直角梯形中，過作為矩形，     ………… 10分在中可得

故        ……… 11分

∵，

 ∴的距離是到面距離的一半              ………… 12分

∴       …………14分知，，

         又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，    

            ………………………………  6分

     （2），    

                         ，  

          兩式相減得

          ，

      ……………………………………………………   9分

…………………………………………………………10分

若n為偶數(shù)，則……………………………………11分

若n為奇數(shù)，則……………………13分

       …………………………………………………… 14分

20. （本小題滿分14分）

解：（）

∵  ∴F1M⊥PN    ∴|PM|=|PF1|

∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2＜|F1F2|

由雙曲線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.

點(diǎn)P的軌跡方程是    ………………………………………  4分

     （2）（ⅰ），，令，則由題設(shè)可知，

直線的斜率，的斜率，

又點(diǎn)在橢圓上，所以（），

從而有. …………………… 8分

（ⅱ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，又易求  

得、.

所以、.

故有.又，化簡后得到以

為直徑的圓的方程為.…………11分

令，解得或.………13分

所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)或.…………14分

21．解：（），則，

令，得或，而在處有極大值，∴或；綜上：或．……3分（）假設(shè)存在，即存在，使得

，

當(dāng)時(shí)，又，故，則存在，使得

，……………………………4分 當(dāng)即時(shí)，得，；………………………………5分 當(dāng)即時(shí)，得，……6分無解；綜上：．………………………………7分據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這

         5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．

（�。┯�2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足；…………8分（ⅱ）有3個(gè)不同的實(shí)根，

當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；………………………………9分當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；

當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以；…………………………10分因?yàn)椋á。�（ⅱ）要同時(shí)滿足，故；（注：也對）………11分下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立

若存在使得，

由，即，得，

當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；

當(dāng)時(shí)，既有   ①；

又由，即  ②；    聯(lián)立①②式，可得；

而當(dāng)時(shí)，沒有5個(gè)不

同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)． …………14分