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2014年安慶市高三模擬考試(二模)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
題號12345678910答案ADCBDBCBBA1. 解析:,,選A.
2. 解析:,則,陰影部分表示的集合為,選D.
3. 解析:由得,所以,,選C.
4. 解析:設(shè)圖中甲、乙丟失的數(shù)據(jù)分別為,則,,∵,∴,選B.
5. 解析:多面體為四棱錐,利用割補(bǔ)法可得其
體積,選D.
6. 解析:直線的方程為,圓的方程為,圓心到直線的距離為1,故圓上有2個點(diǎn)到距離為1,選B.
7. 解析:設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的實(shí)半軸長為,焦距為,,,且不妨設(shè),由 ,得,.又,∴,
∴,即,解得,選C.
8. 解析:設(shè),,則等于1或-1,由,知共有3個1,1個-1.這種組合共有個,選B.
9. 解析:由已知有,作出可行域,令,則的最小值為點(diǎn)到直線的距離,此時,所以的最小值為,選B.
10. 解析:令,則,所以函數(shù)為增函數(shù),∴,∴,∴.又,
∴,選A.
11. 解析:∵ 的展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為,∴ ,
∴,
其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
12. 解析:由及正、余弦定理知:,整理得,由聯(lián)立解得:.
13. 解析:當(dāng)輸出的時,,設(shè)輸入的值為,, 且,解得.最大值為.
14. 解析:函數(shù)有三個零點(diǎn)等價于方程有且僅有三個實(shí)根. ∵,作函數(shù)的圖像,如圖所示,由圖像可知應(yīng)滿足:,故.
15. 解析:顯然①正確;,∵,所以②錯誤;由得,所以,所以,故③正確;∵,所以④錯誤;根據(jù)夾角公式,又,得,即 ,⑤正確
所以正確的是①、③、⑤.
16.(本題滿分12分)
解析:(Ⅰ)
…………4分
由于得:,所以.
所以的圖像的對稱中心坐標(biāo)為 …………6分
(Ⅱ)=,列表:
描點(diǎn)、連線得函數(shù)在上的圖象如圖所示:
17.(本題滿分12分)
解答:設(shè)“教師甲在點(diǎn)投中”的事件為,“教師甲在點(diǎn)投中”的事件為.
(Ⅰ)根據(jù)題意知X的可能取值為0,2,3,4,5,7
,
…………6分
X023457P所以X的分布列是:
…………8分
(Ⅱ)教師甲勝乙包括:甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形.
這五種情形之間彼此互斥,因此,所求事件的概率為:
…………12分
18.(本題滿分12分)
解析:(Ⅰ) ,
由知,
①當(dāng)時,,在上遞增,無最值;
②當(dāng)時,的兩根均非正,因此,在上遞增,無最值;
③當(dāng)時,有一正根,在上遞減,在上遞增;此時,有最小值;
所以,實(shí)數(shù)的范圍為. …………7分
(Ⅱ)證明:依題意:,
由于,且,則有
. …………12分
19.(本題滿分13分)
解答:(Ⅰ)∵平面垂直于圓所在的平面,兩平面的交線為,平面,,∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內(nèi),∴.∵是直角,∴,∴平面,∴.
…………6分
(Ⅱ) 如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,過點(diǎn)與平行的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由異面直線和所成的角為,知,
∴,
∴,由題設(shè)可知,,∴,.設(shè)平面的一個法向量為,
由,得,,取,得.
∴.又平面的一個法向量為,∴.
平面與平面所成的銳二面角的余弦值. …………13分
20.(本題滿分13分)
解析:(Ⅰ)根據(jù)已知條件有,且,故橢圓的長軸在軸上.
,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
由于橢圓的離心率最小時其形狀最圓,故最圓的橢圓方程為.
…………5分
(Ⅱ)設(shè)交點(diǎn),過交點(diǎn)的直線與橢圓相切.
(1)當(dāng)斜率不存在或等于零時,易得點(diǎn)的坐標(biāo)為.…………6分
(2)當(dāng)斜率存在且非零時,設(shè)斜率為,則直線:,
與橢圓方程聯(lián)立消,得:.
由相切,,
化簡整理得. ①
因過橢圓外一點(diǎn)有兩條直線與橢圓相切,由已知兩切線垂直,故,而為方程①的兩根,
故,整理得:.
又也滿足上式,
故點(diǎn)的軌跡方程為,即點(diǎn)在定圓上. ………13分
2.(本題滿分13分)
解析:(Ⅰ)若,則,
由,
得 或,所以只需 或.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. …………6分
(Ⅱ) 對任意成立的充要條件為.
必要性:由,解出;
(另解:假設(shè),得,令, ,可得:,即有.) …………8分
證明:(1)顯然時,結(jié)論成立;
(2)假設(shè)時結(jié)論成立,即,
當(dāng)時,.
考察函數(shù),,
① 若 ,由,知在區(qū)間上單調(diào)遞增.由假設(shè)得.
② 若,對總有,
則由假設(shè)得.
所以,時,結(jié)論成立,
綜上可知:當(dāng)時,對一切,成立.
故對任意成立的充要條件是.
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