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一.填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分.
1. 若集合 ， ，則 .
2. 設(shè) 、 是平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量，若 與 平行，則實(shí)數(shù) .
3. 在△ 的內(nèi)角 、 、 的對邊分別為 、 、 ，若 ， ， ，則 .
4. 在 的展開式中，若第 項(xiàng)的系數(shù)為 ，則 .
5. 若圓 的圓心到直線 （ ）的距離為 ，則 .
6. 函數(shù) 的反函數(shù) .
7. 已知橢圓 的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 、 ，若經(jīng)過 的直線 與橢圓相交于 、 兩點(diǎn)，則△ 的周長等于 .
8. 數(shù)列 中，若 ， （ ），則 .
9. 若函數(shù) ，則不等式 的解集為 .
10．【文科】如圖，正四棱柱 的底面邊長 ，若異面直線 與
所成的角的大小為 ，則正四棱柱 的側(cè)面積為 .
【理科】如圖，正四棱柱 的底面邊長 ，若直線 與底面
所成的角的大小為 ，則正四棱柱 的側(cè)面積為 .
11. 【文科】在數(shù)列 中， ， （ ），則數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【理科】數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 （ ），則 .
12. 已知全集 ，在 中任取四個(gè)元素組成的集合記為 ，余下的四個(gè)元素組成的集合記為 ，若 ，則集合 的取法共有 種.
13. 【文科】若函數(shù) ，則 .
【理科】正三角形 的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 的球面上，球心 到平面 的距離為 ，點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)，過 作球 的截面，則截面面積的最小值為 .
14.已知函數(shù) ，若方程 有且僅有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
二．選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
15.若 和 都是定義在 上的函數(shù)，則“ 與 同是奇函數(shù)或偶函數(shù)”是“ 是偶函數(shù)”的………………………………………………………………（ ）
充分非必要條件. 必要非充分條件.
充要條件. 既非充分又非必要條件
16. 若 和 均為非零實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）
. .
. .
17.將函數(shù) 的圖像向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位后得到的函數(shù)對應(yīng)的表達(dá)式為 ，則函數(shù) 的表達(dá)式可以是………………………………………（ ）
. . . .
18. 若 ( )是 所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且 .
給出下列說法：
① ；
② 的最小值一定是 ；
③點(diǎn) 、 在一條直線上；
④向量 及 在向量 的方向上的投影必相等.
其中正確的個(gè)數(shù)是…………………………………………………………………………（ ）
個(gè). 個(gè). 個(gè). 個(gè).
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19. （本題滿分12分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.
已知點(diǎn) ，點(diǎn) 在曲線 : 上.
（1）若點(diǎn) 在第一象限內(nèi)，且 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）求 的最小值.
20. （本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
已知函數(shù)
（1）【文科】求函數(shù) 的值域，并寫出函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
【理科】求函數(shù) 的最大值，并指出取到最大值時(shí)對應(yīng)的 的值；
（2）若 ，且 ，計(jì)算 的值.
21.（本題滿分14分） 本大題共有2小題，第1小題6分，第2小題8分.
如圖所示，一種醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開始輸液時(shí)，滴管內(nèi)勻速滴下球狀液體，其中球狀液體的半徑 毫米,滴管內(nèi)液體忽略不計(jì).
（1）如果瓶內(nèi)的藥液恰好 分鐘滴完，問每分鐘應(yīng)滴下多少滴？
（2）在條件(1)下,設(shè)輸液開始后 （單位：分鐘），瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為 （單位：厘米），已知當(dāng) 時(shí)， .試將 表示為 的函數(shù).（注: ）
22. （本題滿分16分） 本大題共有3小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分 ，第3
小題滿分6分.
已知數(shù)列 中， ， ， .
（1）證明數(shù)列 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列 中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由；
（3）若 且 ， ，求證：使得 ， ， 成等差數(shù)列的點(diǎn)列 在某一直線上.
3.（本題滿分18分） 本大題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分 ，第3小題滿分8分.
定義在 上的函數(shù) ，如果對任意 ，恒有 （ ， ）成立，則稱 為 階縮放函數(shù).
（1）已知函數(shù) 為二階縮放函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，求 的值；
（2）【文科】已知函數(shù) 為二階縮放函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，求證：函數(shù) 在 上無零點(diǎn)；
【理科】已知函數(shù) 為二階縮放函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，求證：函數(shù) 在 上無零點(diǎn)；
（3）已知函數(shù) 為 階縮放函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， 的取值范圍是 ，求 在 （ ）上的取值范圍.
2013學(xué)年第一學(xué)期普陀區(qū)高三
數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研卷評分標(biāo)準(zhǔn)
一.填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分.
1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. ； 6. （不標(biāo)明定義域不給分）；
7. ； 8. ； 9. 10．32； 11.【文科】 （ ）； 【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】 ； 14. ；
二．選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
題號 15 16 17 18
答案 A D C B
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19. （本題滿分12分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.
【解】設(shè) （ ）,
（1）由已知條件得 …………………………2分
將 代入上式，并變形得， ，解得 （舍去）或 ……………4分
當(dāng) 時(shí)，
只有 滿足條件，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ………………6分
（2） 其中 …………………………7分
（ ）…………10分
當(dāng) 時(shí)， ……………………………………12分
（不指出 ，扣1分）
20. （本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
【解】（1） ………………2分
【文科】由于 ，所以函數(shù) 的值域?yàn)?………4分
由 得
所以函數(shù) 的單調(diào)的增區(qū)間為 ， ………6分
（文科不寫 ，不扣分；不寫區(qū)間，扣1分）
【理科】由 得， ………4分
所以當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí) ………6分
（2）由（1）得， ，即 ……………8分
其中 得 ………………10分
所以 ……………11分
………………13分
………………14分
21. （本題滿分14分） 本大題共有2小題，第1小題6分，第2小題8分.
【解】（1）設(shè)每分鐘滴下 （ ）滴，………………1分
則瓶內(nèi)液體的體積 ………………3分
滴球狀液體的體積 ………………5分
所以 ，解得 ，故每分鐘應(yīng)滴下 滴。………………6分
（2）由（1）知，每分鐘滴下 藥液………………7分
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，此時(shí) ………10分
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，此時(shí) ………13分
綜上可得 ………………14分
22. （本題滿分16分） 本大題共有3小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分 ，第3
小題滿分6分.
解：（1）將已知條件 變形為 ……1分
由于 ，則 （常數(shù)）……3分
即數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，公比為 的等比數(shù)列……4分
所以 ，即 （ ）。……5分
（2）假設(shè)在數(shù)列 中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為 ， ， （ ， ），由題意得， ，
將 ， ， 代入上式得……7分
………………8分
化簡得， ，即 ，得 ，解得
所以，存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為 ， ， 成等比數(shù)列。……10分
（3）若 ， ， 成等差數(shù)列，則
即 ，變形得 ……11分
由于若 ， 且 ，下面對 、 進(jìn)行討論：
① 若 ， 均為偶數(shù)，則 ，解得 ，與 矛盾，舍去；
② 若 為奇數(shù)， 為偶數(shù)，則 ，解得 ；
③ 若 為偶數(shù)， 為奇數(shù)，則 ，解得 ，與 矛盾，舍去；
④ 若 ， 均為奇數(shù)，則 ，解得 ，與 矛盾，舍去；……15分
綜上①②③④可知，只有當(dāng) 為奇數(shù)， 為偶數(shù)時(shí)， ， ， 成等差數(shù)列，此時(shí)滿足條
件點(diǎn)列 落在直線 （其中 為正奇數(shù)）上。……16分（不寫出直線方程扣1分）
23. （本題滿分18分） 本大題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分 ，第3小題滿分8分.
解：（1）由 得， ………………2分
由題中條件得 ……………………4分
（2）【理科】當(dāng) （ ）時(shí)， ，依題意可得：
……6分
方程 或 ， 與 均不屬于 ……8分
當(dāng) （ ）時(shí)，方程 無實(shí)數(shù)解。
注意到
所以函數(shù) 在 上無零點(diǎn)。……10分
【文科】當(dāng) 時(shí)， ，依題意可得：
。……6分
方程 或 ， 與 均不屬于 （ ）……8分
當(dāng) （ ）時(shí)，方程 無實(shí)數(shù)解。
注意到 ，所以函數(shù) 在 上無零點(diǎn)。…10分
（3）當(dāng) ， 時(shí)，有 ，依題意可得：
當(dāng) 時(shí)， 的取值范圍是 …12分
所以當(dāng) ， 時(shí)， 的取值范圍是 。…14分
由于 …16分
所以函數(shù) 在 （ ）上的取值范圍是：
。…18分
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