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一.填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題,考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得4分,否則一律得零分.
1. 若集合 , ,則 .
2. 設(shè) 、 是平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量,若 與 平行,則實(shí)數(shù) .
3. 在△ 的內(nèi)角 、 、 的對(duì)邊分別為 、 、 ,若 , , ,則 .
4. 在 的展開式中,若第 項(xiàng)的系數(shù)為 ,則 .
5. 若圓 的圓心到直線 ( )的距離為 ,則 .
6. 函數(shù) 的反函數(shù) .
7. 已知橢圓 的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 、 ,若經(jīng)過 的直線 與橢圓相交于 、 兩點(diǎn),則△ 的周長等于 .
8. 數(shù)列 中,若 , ( ),則 .
9. 若函數(shù) ,則不等式 的解集為 .
10.【文科】如圖,正四棱柱 的底面邊長 ,若異面直線 與
所成的角的大小為 ,則正四棱柱 的側(cè)面積為 .
【理科】如圖,正四棱柱 的底面邊長 ,若直線 與底面
所成的角的大小為 ,則正四棱柱 的側(cè)面積為 .
11. 【文科】在數(shù)列 中, , ( ),則數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【理科】數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,若 ( ),則 .
12. 已知全集 ,在 中任取四個(gè)元素組成的集合記為 ,余下的四個(gè)元素組成的集合記為 ,若 ,則集合 的取法共有 種.
13. 【文科】若函數(shù) ,則 .
【理科】正三角形 的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 的球面上,球心 到平面 的距離為 ,點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn),過 作球 的截面,則截面面積的最小值為 .
14.已知函數(shù) ,若方程 有且僅有兩個(gè)解,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
二.選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑,選對(duì)得5分,否則一律得零分.
15.若 和 都是定義在 上的函數(shù),則“ 與 同是奇函數(shù)或偶函數(shù)”是“ 是偶函數(shù)”的………………………………………………………………( )
充分非必要條件. 必要非充分條件.
充要條件. 既非充分又非必要條件
16. 若 和 均為非零實(shí)數(shù),則下列不等式中恒成立的是……………………………( )
. .
. .
17.將函數(shù) 的圖像向右平移 個(gè)單位,再向上平移 個(gè)單位后得到的函數(shù)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為 ,則函數(shù) 的表達(dá)式可以是………………………………………( )
. . . .
18. 若 ( )是 所在的平面內(nèi)的點(diǎn),且 .
給出下列說法:
① ;
② 的最小值一定是 ;
③點(diǎn) 、 在一條直線上;
④向量 及 在向量 的方向上的投影必相等.
其中正確的個(gè)數(shù)是…………………………………………………………………………( )
個(gè). 個(gè). 個(gè). 個(gè).
三.解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19. (本題滿分12分)本大題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分6分.
已知點(diǎn) ,點(diǎn) 在曲線 : 上.
(1)若點(diǎn) 在第一象限內(nèi),且 ,求點(diǎn) 的坐標(biāo);
(2)求 的最小值.
20. (本題滿分14分)本大題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
已知函數(shù)
(1)【文科】求函數(shù) 的值域,并寫出函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間;
【理科】求函數(shù) 的最大值,并指出取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的 的值;
(2)若 ,且 ,計(jì)算 的值.
21.(本題滿分14分) 本大題共有2小題,第1小題6分,第2小題8分.
如圖所示,一種醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開始輸液時(shí),滴管內(nèi)勻速滴下球狀液體,其中球狀液體的半徑 毫米,滴管內(nèi)液體忽略不計(jì).
(1)如果瓶內(nèi)的藥液恰好 分鐘滴完,問每分鐘應(yīng)滴下多少滴?
(2)在條件(1)下,設(shè)輸液開始后 (單位:分鐘),瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為 (單位:厘米),已知當(dāng) 時(shí), .試將 表示為 的函數(shù).(注: )
22. (本題滿分16分) 本大題共有3小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分 ,第3
小題滿分6分.
已知數(shù)列 中, , , .
(1)證明數(shù)列 是等比數(shù)列,并求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)在數(shù)列 中,是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若 且 , ,求證:使得 , , 成等差數(shù)列的點(diǎn)列 在某一直線上.
3.(本題滿分18分) 本大題共有3小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分 ,第3小題滿分8分.
定義在 上的函數(shù) ,如果對(duì)任意 ,恒有 ( , )成立,則稱 為 階縮放函數(shù).
(1)已知函數(shù) 為二階縮放函數(shù),且當(dāng) 時(shí), ,求 的值;
(2)【文科】已知函數(shù) 為二階縮放函數(shù),且當(dāng) 時(shí), ,求證:函數(shù) 在 上無零點(diǎn);
【理科】已知函數(shù) 為二階縮放函數(shù),且當(dāng) 時(shí), ,求證:函數(shù) 在 上無零點(diǎn);
(3)已知函數(shù) 為 階縮放函數(shù),且當(dāng) 時(shí), 的取值范圍是 ,求 在 ( )上的取值范圍.
2013學(xué)年第一學(xué)期普陀區(qū)高三
數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題,考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得4分,否則一律得零分.
1. ; 2. ; 3. ;4. ; 5. ; 6. (不標(biāo)明定義域不給分);
7. ; 8. ; 9. 10.32; 11.【文科】 ( ); 【理科】1006; 12.31; 13.【文科】150;【理科】 ; 14. ;
二.選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑,選對(duì)得5分,否則一律得零分.
題號(hào) 15 16 17 18
答案 A D C B
三.解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19. (本題滿分12分)本大題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分6分.
【解】設(shè) ( ),
(1)由已知條件得 …………………………2分
將 代入上式,并變形得, ,解得 (舍去)或 ……………4分
當(dāng) 時(shí),
只有 滿足條件,所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ………………6分
(2) 其中 …………………………7分
( )…………10分
當(dāng) 時(shí), ……………………………………12分
(不指出 ,扣1分)
20. (本題滿分14分)本大題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
【解】(1) ………………2分
【文科】由于 ,所以函數(shù) 的值域?yàn)?………4分
由 得
所以函數(shù) 的單調(diào)的增區(qū)間為 , ………6分
(文科不寫 ,不扣分;不寫區(qū)間,扣1分)
【理科】由 得, ………4分
所以當(dāng) 時(shí), ,此時(shí) ………6分
(2)由(1)得, ,即 ……………8分
其中 得 ………………10分
所以 ……………11分
………………13分
………………14分
21. (本題滿分14分) 本大題共有2小題,第1小題6分,第2小題8分.
【解】(1)設(shè)每分鐘滴下 ( )滴,………………1分
則瓶內(nèi)液體的體積 ………………3分
滴球狀液體的體積 ………………5分
所以 ,解得 ,故每分鐘應(yīng)滴下 滴。………………6分
(2)由(1)知,每分鐘滴下 藥液………………7分
當(dāng) 時(shí), ,即 ,此時(shí) ………10分
當(dāng) 時(shí), ,即 ,此時(shí) ………13分
綜上可得 ………………14分
22. (本題滿分16分) 本大題共有3小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分 ,第3
小題滿分6分.
解:(1)將已知條件 變形為 ……1分
由于 ,則 (常數(shù))……3分
即數(shù)列 是以 為首項(xiàng),公比為 的等比數(shù)列……4分
所以 ,即 ( )。……5分
(2)假設(shè)在數(shù)列 中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列,不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為 , , ( , ),由題意得, ,
將 , , 代入上式得……7分
………………8分
化簡得, ,即 ,得 ,解得
所以,存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為 , , 成等比數(shù)列。……10分
(3)若 , , 成等差數(shù)列,則
即 ,變形得 ……11分
由于若 , 且 ,下面對(duì) 、 進(jìn)行討論:
① 若 , 均為偶數(shù),則 ,解得 ,與 矛盾,舍去;
② 若 為奇數(shù), 為偶數(shù),則 ,解得 ;
③ 若 為偶數(shù), 為奇數(shù),則 ,解得 ,與 矛盾,舍去;
④ 若 , 均為奇數(shù),則 ,解得 ,與 矛盾,舍去;……15分
綜上①②③④可知,只有當(dāng) 為奇數(shù), 為偶數(shù)時(shí), , , 成等差數(shù)列,此時(shí)滿足條
件點(diǎn)列 落在直線 (其中 為正奇數(shù))上。……16分(不寫出直線方程扣1分)
23. (本題滿分18分) 本大題共有3小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分 ,第3小題滿分8分.
解:(1)由 得, ………………2分
由題中條件得 ……………………4分
(2)【理科】當(dāng) ( )時(shí), ,依題意可得:
……6分
方程 或 , 與 均不屬于 ……8分
當(dāng) ( )時(shí),方程 無實(shí)數(shù)解。
注意到
所以函數(shù) 在 上無零點(diǎn)。……10分
【文科】當(dāng) 時(shí), ,依題意可得:
。……6分
方程 或 , 與 均不屬于 ( )……8分
當(dāng) ( )時(shí),方程 無實(shí)數(shù)解。
注意到 ,所以函數(shù) 在 上無零點(diǎn)。…10分
(3)當(dāng) , 時(shí),有 ,依題意可得:
當(dāng) 時(shí), 的取值范圍是 …12分
所以當(dāng) , 時(shí), 的取值范圍是 。…14分
由于 …16分
所以函數(shù) 在 ( )上的取值范圍是:
。…18分
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