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2014年長春市高中畢業(yè)班第一次調研測試數(shù)學(理科)試題參考答案及評分標準
第Ⅰ卷(選擇題,共60分)
一、選擇題(本大題包括12小題,每小題5分,共60分,每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將正確選項填寫在答題紙上)
題號123456789101112答案BBADCDADBDCC1.【試題答案】【試題解析】的虛部為,得的虛部為,故選.
2.【試題答案】【試題解析】,,所以,故選.
3.【試題答案】【試題解析】,∴將選項代入驗證,當時,取得最值,故選.
4.【試題答案】【試題解析】中的幾何意義為:拋物線的焦點到準線的距離,又,故選.
5.【試題答案】【試題解析】,又,則,即,解得或,故選.
6.【試題答案】【試題解析】,
所以,,
,故選.
7.【試題答案】【試題解析】,得,則表示該
組平行直線在軸的截距。又由約束條件
作出可行域如圖,先畫出,經(jīng)
平移至經(jīng)過和的交點時,取得
最大值,代入,即,所以
,故選.
8.【試題答案】【試題解析】可能在平面內;B選項,如果直線不在平面內,不能得到;C選項,直線與可能平行,可能異面,還可能相交;故選.
9.【試題答案】【試題解析】得,又,,
則,,所以有,即,從而
解得,又,所以,故選.
10.【試題答案】【試題解析】球的表面積,再加上個圓面積,故,又球半徑,,故選.
11.【試題答案】【試題解析】表示的平面區(qū)域如圖
所示,函數(shù)具有性質,則函
數(shù)圖像必須完全分布在陰影區(qū)域①
和②部分,分布在區(qū)
域①和③內,分布
在區(qū)域②和④內,圖像
分布在區(qū)域①和②內,
在每個區(qū)域都有圖像,故選
12.【試題答案】【試題解析】,
易知時,;時,
所以在上恒成立,故在上是增函數(shù),又,
∴只有一個零點,記為,則.
同理可證明也只有一個零點,記為,且.故
有個不同零點,,即將向左平移
個單位,即將向右平移個單位,∴,,
又函數(shù)零點均在區(qū)間內,故當,
時,即 的最小值,故選
第Ⅱ卷 (非選擇題,共90分)
二、填空題(本大題包括4小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在答題卡中的橫線上)
13.【試題答案】 【試題解析】【試題答案】,上下底面中心設為,,由題意,外接球心為的中點,設為,則,由 ,得,又易得,由勾股定理可知,,所以,即棱柱的高,所以該三棱柱的體積為.
15.【試題答案】【試題解析】與圓交于,,則直線的方程為:
,
化簡得:
又圓平分圓的周長,則直線過,代入的方程得:,
∴
.
16.【試題答案】 ③
【試題解析】,
則,故①錯。
,∴,故②錯。在是單調遞增的周函
數(shù),知,故,故③正確,易知④錯。綜上,正確序號為③。
三、解答題(本大題包括6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟).
17.【試題解析】的公差為,
則,
又,則,故. ……………………………………………6分
(2)由(1)可得,又,
即,化簡得,
解得或(舍),所以的值為4.……………………………………12分
18.【試題解析】
…………4分
因為,所以最小正周期. ……………………6分
(2)由(1)知,當時,.
由正弦函數(shù)圖象可知,當時,取得最大值,又為銳角
所以. ……………………8分
由余弦定理得,所以或
經(jīng)檢驗均符合題意. ……………………10分
從而當時,△的面積;……………11分
. ……………………12分
19.【試題解析】交于,
∵四邊形為正方形,
∴,
∵正方形與矩形所在平面互相垂直,交線為,,
∴平面,又平面
∴,
又,∴平面,
又平面,∴.……………………………………………6分
(2)存在滿足條件的.
【解法一】假設存在滿足條件的點,過點作
于點,連結
,則,
所以為二面角的平面角,
……………………9分
所以,
在中,所以,
又在中,,所以,∴ ,
在中,,
∴.
故在線段上存在一點,使得二面角為,且. ………………………………………12分
【解法二】依題意,以為坐標原點,、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,因為,,,,,所以,.
易知為平面的法向量,設,所以,
設平面的法向量為,所以,即,
所以,取,
則,又二面角的大小為,解得.
又因為,所以.
故在線段上是存在點,使二面角的大小為.
……………………………………………12分
20.【試題解析】.由題意的中垂線方程分別為,
于是圓心坐標為.所以,
整理得, ……………………………………………4分
即,
所以,于是,即.
所以,即. ……………………………………………6分
(2)當時,,此時橢圓的方程為,
設,則,
所以. …………………8分
當時,上式的最小值為,即,得;…………10分
當時,上式的最小值為,即,
解得,不合題意,舍去.
綜上所述,橢圓的方程為. ……………………………………12分
21.【試題解析】,其定義域為,則,2分
對于,有.
①當時,,∴的單調增區(qū)間為;
②當時,的兩根為,
∴的單調增區(qū)間為和,
的單調減區(qū)間為.
綜上:當時,的單調增區(qū)間為;
當時,的單調增區(qū)間為和,
的單調減區(qū)間為. ………6分
(2)對,其定義域為.
求導得,,
由題兩根分別為,,則有,, ………8分
∴,從而有
,……10分
.
當時,,∴在上單調遞減,
又,
∴. ………………12分
請考生在22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.
22. 【試題解析】 (1)所以,即為的中點.…5分
(2)由為圓的直徑,易得 ,,
∴. ………10分
23. 【試題解析】的參數(shù)方程,即(為參數(shù))
由題知點的直角坐標為,圓半徑為,
∴圓方程為 將 代入
得圓極坐標方程 ………5分
(2)由題意得,直線的普通方程為,
圓心到的距離為,
∴直線與圓相離. ………10分
24. 【試題解析】,即,
當時,則,得,∴;
當時,則,得,恒成立,∴ ;
當時,則,得,∴;
綜上,. ………5分
(2)當時, 則,.
即:,,∴,
∴,即,
也就是,
∴,
即:,
即. ………10分
1
A
第7題圖
第11題圖
O
第19題圖(1)
第19題圖2
第19題圖(2)
2014年長春市高中畢業(yè)班第一次調研測試理科
數(shù)學試題參考答案及評分標準
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